Jak řešit logaritmické rovnice

Obsah

• stupně
• Předběžné: umět transformovat logaritmickou rovnici na rovnici se silami
• Metoda 1 Najít x
• Metoda 2 Najít x pomocí pravidla produktu logaritmu
• Metoda 3 Najít x pomocí logaritmického kvocientu

Logaritmické rovnice nejsou na první pohled nejjednodušší řešit v matematice, ale mohou být transformovány do rovnic s exponenty (exponenciální notace). Pokud se vám tedy podaří tuto transformaci provést a zvládnete-li výpočet se silami, měli byste snadno vyřešit tento druh rovnic. Pozn .: Termín „log“ se bude čas od času používat místo „logaritmu“, jsou zaměnitelné.

stupně

Předběžné: umět transformovat logaritmickou rovnici na rovnici se silami

1. 
   

   
   Začněme definicí logaritmu. Pokud hledáte výpočet logaritmů, víme, že nejsou ničím jiným než zvláštním způsobem vyjádření pravomocí. Začněme jednou z klasických podmínek logaritmu:
   • y = log_b (X)
     • pokud a pouze pokud: b = x
   • b je základem logaritmu. Musí být splněny dvě podmínky:
     • b> 0 (b musí být přísně pozitivní)
     • b nesmí se rovnat 1
   • V exponenciálním zápisu (druhá rovnice výše), tam je síla a x je takzvaný exponenciální výraz, ve skutečnosti hodnota, kterou člověk hledá v protokolu.

2. 
   

   
   
   
   Pozorně sledujte rovnici. Tváří v tvář logaritmické rovnici musíme identifikovat základnu (b), sílu (y) a exponenciální výraz (x).
   • příklad : 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Umístěte exponenciální výraz na jednu stranu rovnice. Zadejte například svou hodnotu x nalevo od znaménka "=".
   • příklad : 1024 = ?

4. 
   

   
   Zvedněte základnu na vyznačenou sílu. Hodnota přiřazená databázi (b) musí být vynásobeno tolikrát, kolikrát ukazuje moc (tam).
   • příklad : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • V krátkosti to dává: 4

5. 
   

   
   
   
   Napište odpověď. Nyní můžete přepsat logaritmus v exponenciálním zápisu. Opakovaným výpočtem se ujistěte, že je vaše rovnost správná.
   • příklad : 4 = 1024

Metoda 1 Najít x

1. 
   

   
   Izolujte logaritmus. Cílem je skutečně disollovat při prvním záznamu. Za tímto účelem míjíme všechny logaritmické členy na druhé straně rovnice. Nezapomeňte obrátit operativní znaky!
   • příklad : log₃(x + 5) + 6 = 10
     • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • log₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Napište rovnici v exponenciální podobě. Abyste mohli najít "x", budete muset přejít od logaritmického zápisu k exponenciálnímu zápisu, který se snáze vyřeší.
   • příklad : log₃(x + 5) = 4
     • Počínaje teoretickou rovnicí y = log_b (X)], aplikujte jej na náš příklad: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Napište rovnici jako: b = x
     • Získáme zde: 3 = x + 5

3. 
   

   
   najít x. Nyní čelíte rovnici prvního stupně, kterou lze snadno vyřešit. Může to být druhý nebo třetí stupeň.
   • příklad : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Zadejte svou konečnou odpověď. Hodnota, kterou jste našli pro "x", je odpověď na vaši logaritmickou rovnici: log₃(x + 5) = 4.
   • příklad : x = 76

Metoda 2 Najít x pomocí pravidla produktu logaritmu

1. 
   

   
   Musíte znát pravidlo týkající se produktu (násobení) protokolů. Podle první vlastnosti protokolů, které se týkají produktu protokolů (stejné základny odeslané!), Se protokol produktu rovná součtu protokolů prvků produktu. Ilustrace:
   • log_b(m x n) = log_b(m) + log_b(N)
   • Musí být splněny dvě podmínky:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Izolujte klády na jedné straně rovnice. Cílem je opravdu nejprve disolátovat záznamy. Za tímto účelem míjíme všechny logaritmické členy na druhé straně rovnice. Nezapomeňte obrátit operativní znaky!
   • příklad : log₄(x + 6) = 2 - log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2

3. 
   

   
   Použijte pravidlo týkající se produktu protokolů. Zde ji použijeme v opačném směru, a to, že součet protokolů se rovná logu produktu. Co nám dává:
   • příklad : log₄(x + 6) + log₄(x) = 2
     • log₄ = 2
     • log₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Přepište rovnici silami. Připomeňme, že logaritmická rovnice může být přeměněna na rovnici s exponenty. Stejně jako dříve se přesuneme k exponenciální notaci, která pomůže vyřešit problém.
   • příklad : log₄(x + 6x) = 2
     • Počínaje teoretickou rovnicí ji aplikujme na náš příklad: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Napište rovnici jako: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   najít x. Nyní čelíte rovnici druhého stupně, kterou lze snadno vyřešit.
   • příklad : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16 - 16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Napište odpověď. Často máme dvě odpovědi (kořeny). Pokud jsou tyto dvě hodnoty vhodné, mělo by být zkontrolováno ve výchozí rovnici. Opravdu nemůžeme spočítat log záporného čísla! Zadejte pouze platnou odpověď.
   • příklad : x = 2
   • Nikdy si to nebudeme pamatovat: protokol záporného čísla neexistuje, takže zde můžete odmítnout - 8 jako řešení. Pokud bychom vzali -8 jako odpověď, měli bychom v základní rovnici: log₄(-8 + 6) = 2 - log₄(-8), tj. Log₄(-2) = 2 - log₄(-8). Nelze vypočítat log záporné hodnoty!

Metoda 3 Najít x pomocí logaritmického kvocientu

1. 
   

   
   Musíte znát pravidlo týkající se rozdělení protokolů. Podle druhé vlastnosti deníků, které se týkají dělení deníků (stejné základny odeslané!), Deník kvocientu se rovná rozdílu deníku čitatele a deníku jmenovatele. Ilustrace:
   • log_b(m / n) = log_b(m) - log_b(N)
   • Musí být splněny dvě podmínky:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Izolujte klády na jedné straně rovnice. Cílem je opravdu nejprve disolátovat záznamy. Za tímto účelem míjíme všechny logaritmické členy na druhé straně rovnice. Nezapomeňte obrátit operativní znaky!
   • příklad : log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Použijte pravidlo kvocientu protokolu. Zde ji použijeme v opačném směru, a to, že rozdíl protokolů se rovná logu kvocientu. Co nám dává:
   • příklad : log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2
     • log₃ = 2

4. 
   

   
   Přepište rovnici silami. Připomeňme, že logaritmická rovnice může být přeměněna na rovnici s exponenty. Stejně jako dříve se přesuneme k exponenciální notaci, která pomůže vyřešit problém.
   • příklad : log₃ = 2
     • Počínaje teoretickou rovnicí ji aplikujme na náš příklad: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Napište rovnici jako: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   najít x. Nyní, když už neexistují žádné protokoly, ale síly, měli byste je snadno najít x.
   • příklad : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; vynásobíme obě strany (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Zadejte svou konečnou odpověď. Vezměte si zpět své výpočty a proveďte kontrolu. Pokud jste si jisti svou odpovědí, napište ji definitivně.
   • příklad : x = 3